AMELIORATION DE DIAMANT B

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L'étude concerne le lanceur français DIAMANT B d'environ 24 tonnes, prédécesseur dEuropa. Il symbolise la naissance de l'industrie spatiale française des années 1960-1970, sous l'égide du CNES.

Ce problème est l'occasion, outre l'aspect historique, d'étudier la notion d'étage optimal et donne un exemple simple d'optimisation et d'amélioration d'une filière.

NB : N'accordez que peu d'importance à la date, en mécanique les problèmes se ressemblent et ne viellissent pas.

PROBLEME

Le CNES et l'ONERA présentent en septembre 1971, lors d'un congrès d'astronautique à Bruxelles, un projet d'amélioration des performances du lanceur DIAMANT B.

Il est envisagé d'adjoindre aux 3 étages existants un ou deux étages supplémentaires pour augmenter les performances en masse utile.

I DONNEES DU PROBLEME :

Les performances du lanceur tri-étages sont connues.

 Injection à 200 km du sol.

 Mi3 désigne la masse au dessus de l'étage 3, avant allumage de l'étage 3 et après largage de l'étage 2

 Va2 est la norme du vecteur vitesse absolue, à l'issue de la phase balistique intermédiaire qui suit la combustion de l'étage 2 et qui amène la charge restante à l'apogée en A2, de cette ellipse balistique, à 200 km d'altitude.

La relation fournie résulte des données techniques sur le lanceur.

 Le fonctionnement, dans le vide, avec une poussée dans le sens de la vitesse Va2, des moteurs 3, 4 et éventuellement 5, est considéré sans pertes propulsives. Les incréments fournis sont nommés DV3, DV4, DV5.

Les caractéristiques connues des étages sont :

Etage 3

Masse de poudre

Masse de structure

Impulsion spécifique

Mp3 =675 kg

Ms3 = 112 kg

Isp3 = 2771.3 m/s

 

 

 

Etage 4

Indice constructif

Impulsion spécifique

w4 = 0.1365

Isp4 = 2771.3 m/s

 

 

 

Etage 5

Indice constructif

Impulsion spécifique

w5 = 0.3

Isp4 = 2452.5m/s

 

 

 

Masse utile

Notée Mu

Inconnue du problème

Données numériques utiles :

Constante de gravitation terrestre mT = 39.86 10 4 km3s-2

Rayon terrestre RT = 6378 km

II PERFORMANCES DU TRI-ETAGES :

1°) Donner l'expression de la vitesse d'injection V3 à l'issue du fonctionnement du seul étage 3 , en fonction de la seule variable Mi3.

 2°) Le lanceur DIAMANT B 3 étages, est-il capable d'une libération à 200 km ?

3°) Quelle masse utile ce lanceur peut-il injecter à 200 km en circulaire?

4°) Quel est l'apogée que peut atteindre une masse de 63 kg?

II OPTIMISATION DU LANCEUR EN LIBERATION :

Le fonctionnement des moteurs 3-4-5 doit permettre d'atteindre la vitesse de libération avecles contraintes suivantes :

 Masse utile maximale Mu

 Etage 3 imposé en masse et impulsion spécifique.

 Etages 4 et 5 connus uniquement par leurs caractéristiques essentielles ( Impulsion spécifique et indice de construction), les masses de propergols Mp4 et Mp5 de ces étages sont inconnues.

Le problème comporte donc 3 inconnues au choix, nous prendrons X = MI3, Y = Mp4, Z = Mp5.

1° FORMULATION MATHEMATIQUE :

a) Calculer Mu = f(X, Y, Z), ce sera la fonction à "maximiser".

b) Etablir l'équation dite de contrainte g(X, Y, Z) = 0 qui exprime qu'en termes de vitesse, la libération est atteinte.

CONCLUSION : Nous sommes en présence d'un problème de recherche d'un extremum d'une fonction f, moyennant une contrainte g = 0, c'est ce que l'on appelle un extremum lié.

La résolution demande un petit effort mathématique et donc d'aller consulter la théorie qui "va bien" sur ce site;

Vous pourrez aussi essayer une autre méthode consistant à calculer la masse utile en fonction seulement de X et Y.

Calculer alors X, Y, Z, Mu

2° APPLICATION PRATIQUE:

Calculer tous les éléments du nouveau lanceur, c'est à dire MI3, la masse des ergols Mp4 et Mp5, la mase des moteurs M4 et M5, les incréments de vitesse DV3, DV4, DV5.

Vous vérifierez que la libération est effectivement atteinte.

SOLUTION

 II 1°) Vitesse V3 :

Le calcul simple consiste à rajouter l'incrément de l'étage 3, qui se calcule avec le rapport de masse de cet étage.

2°) Libération à 200 km :

La réponse à cette question repose sur la performance à masse utile nulle. En effet si sans masse utile le lanceur dépasse la vitesse de libération à 200 km, il est alors capable d'une libération, sinon c'est le contraire.

La vitesse de libération à 200 km est de 11009 m/s.

A masse utile nulle MI3 = 787 kg, le calcul de V3 donne alors V3 = 10238.6 m/s ce qui interdit toute libération de l'attraction terrestre.

3°) Masse utile en circulaire 200 km :

La vitesse d'orbitation circulaire à 200 km sol est de 7784.3, l'équation ci dessous donne par une méthode itérative, la valeur de Mi3.

Ce qui conduit à une masse utile de Mu = 988 - 675 - 112 = 201 kg, à comparer aux 15 tonnes du lanceur Ariane 5 actuel.

4°) Orbite atteinte avec Mu = 63 kg :

Mu = 63 kg entraîne MI3 = 850 kg, le calcul donne V3

On peut donc calculer le demi grand axe de l'ellipse obtenue ( puisque l'hyperbole est impossible) par:

soit a = 10951 km et donc un apogée Ra = 2a - 6578 = 8266 km

II 1°) a) Calcul de Mu = f(X, Y, Z) :

Ce calcul est simple et donne

b) Equation dite de contrainte g(X, Y, Z) = 0 :

Nous traduisons simplement que la vitesse finale atteinte par le lanceur est la vitesse de libération à 200 km, déjà calculée plus haut, avec une masse MI3 = X

Exprimé en variables X, Y, Z il vient après simplifications :

 La théorie nous indique que l'extremum cherché est un extremum libre de la fonction annexe h = f + l g.

Le système à résoudre comporte donc 4 équations et 4 inconnues X, Y, Z, l.

Explicitons ces relations :

avec la contrainte (4) :

De toute évidence, avec cette méthode, la résolution revient à résoudre un système non linéaire de 4 équations à 4 inconnues et demande donc l'usage d'un algorithme informatisé pour calculer X, Y, Z.

Autre méthode :

La contrainte (4) permet de calculer Z en fonction de X et Y. On peut donc exprimer la masse utile en fonction seulement de X et Y, et chercher un maximum libre à uniquement 2 variables.

Pour ce calcul il faut disposer d'un algorithme de calcul d'extremum libre ou alors se relancer dans le calcul de dérivées, ce qui est plutôt rebutant et guère plus simple que plus haut.

On peut aussi utiliser une des outils du genre Maple ou Matlab qui vont donner le maximum de Mu = F(X,Y) en fonction de X et Y.

Le calcul effectué sous MATLAB 4.2 donne avec la fonction massemax ( voir massemax.m) en fichier texte:

Mu = 47.8 kg MI3 = 1150 kg Mp4 = 255 kg Mp5 = 17 kg

2° APPLICATION PRATIQUE :

Le calcul des masses moteurs donne M4 = 290 kg et M5 = 22 kg

CONCLUSIONS :

Le lanceur tri-étages est incapable d'une libération mais peut être amélioré par adjonction d'étages supplémentaires, pour parvenir à libérer une masse de près de 48 kg.

TRAVAIL PERSONNEL :

Vous ferez comme les ingénieurs du CNES qui constatant la petitesse du moteur 5 en ont conclu qu'il était inutile. Vous referez donc le calcul avec seulement un étage 4, pour constater que c'est bien la meilleure solution.

Guiziou Robert juillet 2000